Tipos de espacios vectoriales

Tipos de espacios vectoriales

vector euclidiano

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En matemáticas, un espacio vectorial normado o espacio normado es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos, sobre el que se define una norma[1] Una norma es la formalización y la generalización a los espacios vectoriales reales de la noción intuitiva de «longitud» en el mundo real. Una norma es una función de valor real definida en el espacio vectorial que comúnmente se denota

es completa, entonces el espacio normado es un espacio de Banach. Todo espacio vectorial normado puede ser «extendido de forma única» a un espacio de Banach, lo que hace que los espacios normados estén íntimamente relacionados con los espacios de Banach. Todo espacio de Banach es un espacio normado, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el conjunto de las secuencias finitas de números reales puede ser normado con la norma euclidiana, pero no es completo para esta norma.

espacios vectoriales y matrices

Los espacios vectoriales graduados son comunes. Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios en una o varias variables forma un espacio vectorial graduado, donde los elementos homogéneos de grado n son exactamente las combinaciones lineales de monomios de grado n.

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Los subespacios de un espacio vectorial graduado no tienen por qué estar indexados por el conjunto de los números naturales, y pueden estar indexados por los elementos de cualquier conjunto I. Un espacio vectorial graduado por I es un espacio vectorial junto con una descomposición en una suma directa de subespacios indexados por elementos i del conjunto I:

Para conjuntos de índices generales I, un mapa lineal entre dos espacios vectoriales graduados en I f : V → W se llama mapa lineal graduado si preserva la graduación de los elementos homogéneos. Un mapa lineal graduado también se llama homomorfismo (o morfismo) de espacios vectoriales graduados, o mapa lineal homogéneo:

donde «+» denota la operación monoide. Si además I satisface la propiedad de cancelación, de modo que puede incrustarse en un grupo conmutativo A que genera (por ejemplo, los números enteros si I son los números naturales), entonces también se pueden definir mapas lineales homogéneos de grado i en A por la misma propiedad (pero ahora «+» denota la operación de grupo en A). En concreto, para i en I un mapa lineal será homogéneo de grado -i si

espacios vectoriales de dimensión finita

En física nos enseñan los vectores en forma de flechas. Estas flechas se representan a veces con una dirección y una magnitud. A veces también se representan por sus partes componentes de la forma ai + bj + ck. También pueden representarse como vectores fila o columna.

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Parece que estás preguntando por los vectores que aparecen en la física de los principiantes. Enumeras varias formas de pensar en esos vectores, cada una de las cuales es útil en algún contexto. Pero sólo hay un tipo de vector real tridimensional.

Cuando estudias matemáticas y física más avanzadas te encuentras con mucha más generalidad. Los espacios vectoriales no tienen por qué tener una dimensión de 3$. A menudo querrás considerar un conjunto de funciones como un espacio vectorial. Entonces, pensar en las flechas o en la dirección y la magnitud no ayuda tanto, y puede que ni siquiera tenga sentido.

ejemplos de espacios vectoriales

La mejor forma de repasar los ejemplos siguientes es comprobar las diez condiciones de la definición. Dicha comprobación se ha escrito extensamente en el primer ejemplo. Utilízalo como modelo para los demás. Es especialmente importante la primera condición «

«. Son las condiciones de cierre. Especifican que las operaciones de suma y multiplicación escalar son siempre sensatas -están definidas para cada par de vectores, y cada escalar y vector, y el resultado de la operación es un miembro del conjunto (véase el ejemplo 1.4).

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(la segunda igualdad se deriva del hecho de que los componentes de los vectores son números reales, y la suma de números reales es conmutativa). La condición 3, la asociatividad de la suma de vectores, es similar.

que también es un espacio vectorial. En contraste con estos dos, considere el conjunto de columnas de dos alturas con entradas que son números enteros (bajo las operaciones obvias). Este es un subconjunto de un espacio vectorial, pero no es en sí mismo un espacio vectorial. La razón es que este conjunto no es cerrado bajo la multiplicación escalar, es decir, no satisface la condición 6. Aquí hay una columna con entradas enteras, y un escalar, tal que el resultado de la operación

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