Que es el método simplex

Que es el método simplex

Método simplex pdf

El método de Nelder-Mead (también método simplex descendente, método de la ameba o método del politopo) es un método numérico comúnmente aplicado para encontrar el mínimo o el máximo de una función objetivo en un espacio multidimensional. Es un método de búsqueda directa (basado en la comparación de funciones) y suele aplicarse a problemas de optimización no lineales para los que pueden no conocerse las derivadas. Sin embargo, la técnica de Nelder-Mead es un método de búsqueda heurística que puede converger a puntos no estacionarios[1] en problemas que pueden resolverse con métodos alternativos[2].

El método utiliza el concepto de simplex, que es un politopo especial de n + 1 vértices en n dimensiones. Ejemplos de símiles son un segmento de línea en una línea, un triángulo en un plano, un tetraedro en un espacio tridimensional, etc.

Por ejemplo, el ingeniero de un puente colgante tiene que elegir el grosor de cada puntal, cable y pilar. Estos elementos son interdependientes, pero no es fácil visualizar el impacto de cambiar cualquier elemento específico. La simulación de estructuras tan complicadas suele ser extremadamente costosa desde el punto de vista informático y puede llevar más de una hora por ejecución. El método de Nelder-Mead requiere, en su variante original, no más de dos evaluaciones por iteración, excepto para la operación de encogimiento descrita más adelante, lo que resulta atractivo en comparación con otros métodos de optimización de búsqueda directa. Sin embargo, el número total de iteraciones hasta el óptimo propuesto puede ser elevado.

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Ejemplos de problemas de palabras con el método simplex

El nombre del algoritmo se deriva del concepto de simplex y fue sugerido por T. S. Motzkin[2] En realidad, el método no utiliza simples, pero una interpretación del mismo es que opera sobre conos simpliciales, y éstos se convierten en simples propios con una restricción adicional[3][4][5][6] Los conos simpliciales en cuestión son las esquinas (es decir, las vecindades de los vértices) de un objeto geométrico llamado politopo. La forma de este politopo está definida por las restricciones aplicadas a la función objetivo.

George Dantzig trabajó en métodos de planificación para las Fuerzas Aéreas del Ejército de Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial utilizando una calculadora de escritorio. En 1946, su colega le retó a mecanizar el proceso de planificación para evitar que aceptara otro trabajo. Dantzig formuló el problema como desigualdades lineales inspiradas en el trabajo de Wassily Leontief, sin embargo, en ese momento no incluyó un objetivo como parte de su formulación. Sin un objetivo, un gran número de soluciones pueden ser factibles y, por lo tanto, para encontrar la «mejor» solución factible, hay que utilizar «reglas básicas» especificadas por los militares que describen cómo se pueden alcanzar los objetivos, en lugar de especificar un objetivo en sí. La idea central de Dantzig fue darse cuenta de que la mayoría de esas reglas básicas pueden traducirse en una función objetivo lineal que hay que maximizar[7]. El desarrollo del método simplex fue evolutivo y se produjo a lo largo de un año[8].

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Fórmula del método simplex

El método simplex revisado es matemáticamente equivalente al método simplex estándar, pero difiere en su implementación. En lugar de mantener una tabla que represente explícitamente las restricciones ajustadas a un conjunto de variables básicas, mantiene una representación de una base de la matriz que representa las restricciones. El enfoque orientado a la matriz permite una mayor eficiencia computacional al permitir operaciones matriciales dispersas[1].

donde A ∈ Rm×n. Sin pérdida de generalidad, se supone que la matriz de restricciones A tiene todo el rango de filas y que el problema es factible, es decir, hay al menos una x ≥ 0 tal que Ax = b. Si A es de rango deficiente, o bien hay restricciones redundantes, o el problema es inviable. Ambas situaciones pueden ser manejadas por un paso de presolución.

{\displaystyle {\begin{aligned}{símbolo de la moneda}&={símbolo de la moneda}}, {{símbolo de la moneda}}^{mathrm {T}} {{símbolo de la palabra}}+{símbolo de la palabra}}={símbolo de la palabra}},{{símbolo de la palabra}}y{símbolo de la palabra}}geq {{símbolo de la palabra}}},{{símbolo de la palabra}}}y{símbolo de la palabra}}}geq {{símbolo de la palabra}}},{{símbolo de la palabra}}^{mathrm {T}} }{\boldsymbol {x}}&=0\end{aligned}}}

Método simplex dual

En el último capítulo, utilizamos el método geométrico para resolver problemas de programación lineal, pero el enfoque geométrico no funciona para problemas que tienen más de dos variables. En la vida real, los problemas de programación lineal constan literalmente de miles de variables y se resuelven con ordenadores. Podemos resolver estos problemas algebraicamente, pero eso no será muy eficiente. Supongamos que nos dan un problema con, digamos, 5 variables y 10 restricciones. Eligiendo todas las combinaciones de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, podríamos encontrar todos los puntos de esquina, comprobar su viabilidad y llegar a la solución, si es que existe. Pero el problema es que incluso para un problema con tan pocas variables, obtendremos más de 250 puntos de esquina, y probar cada punto será muy tedioso. Así que necesitamos un método que tenga un algoritmo sistemático y que se pueda programar para un ordenador. El método tiene que ser lo suficientemente eficiente para que no tengamos que evaluar la función objetivo en cada punto de esquina. Tenemos ese método, y se llama método simplex.

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