Ejercicios de integrales trigonometricas

Ejercicios de integrales trigonometricas

Ejercicios de sustitución trigonométrica

En esta sección veremos cómo integrar una serie de productos de funciones trigonométricas. Estas integrales se llaman integrales trigonométricas. Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica, que aparece en Sustitución trigonométrica. Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que quizá no podamos integrar en expresiones que implican funciones trigonométricas, que podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen con frecuencia cuando estudiamos más adelante los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Comencemos nuestro estudio con los productos de sinxsinx y cosx.cosx.

Una idea clave detrás de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de sinxsinx y cosxcosx implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma ∫sinjxcosxdx∫sinjxcosxdx o ∫cosjxsinxdx.∫cosjxsinxdx. Después de reescribir estas integrales, las evaluamos utilizando la sustitución en u. Antes de describir el proceso general en detalle, veamos los siguientes ejemplos.

Hoja de trabajo de integración de funciones trigonométricas

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En esta sección vamos a ver unas cuantas integrales que implican funciones trigonométricas y algunas de las técnicas que podemos utilizar para ayudarnos a evaluarlas. Empecemos con una integral que ya deberíamos ser capaces de hacer.

Esta integral ya no tiene el coseno que nos permitiría usar la sustitución que usamos anteriormente. Por lo tanto, esa sustitución no funcionará y vamos a tener que encontrar otra forma de hacer esta integral.

Observa que pudimos hacer la reescritura que hicimos en el ejemplo anterior porque el exponente del seno era impar. En estos casos todo lo que tenemos que hacer es quitar uno de los senos. El exponente de los senos restantes será entonces par y podemos convertir fácilmente los senos restantes en cosenos utilizando la identidad,

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Integrales trigonométricas pdf

\I = \int {{sin^6}xdx} = \int {{Izquierda( {{sin^2}x} ^3}dx} = \frac{1}{8}{punto} {{Izquierda( {1 – \cos 2x} \right)}^3}dx} = \frac{1}{8}{punto} {{Izquierda( {1 – 3\cos 2x + 3\ {{cos}^2}2x – {{cos}^3}2x} \right)dx} = \frac{x}{8} – \frac{3}{8} \cdot \frac{{sin 2x}{2} + \frac{3}{8}int {{cos^2}2xdx} – \frac{3}{8}int {{cos^3}2xdx}. \]

\N-int {{cos^2}2xdx} = \frac {{1 + \cos 4x}{2}dx} = \frac{1}{2}int {{1 + \cos 4x}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{5} + \frac{{sin 4x}} {8}.\f]

Las potencias del seno y del coseno son impares. Por lo tanto, podemos utilizar la sustitución \(u = \sin x\) o \(u = \cos x.\) Vamos a aplicar la sustitución \(u = \sin x.\) Entonces \(du = \cos x dx,\) y la integral se convierte en

Integrales trigonométricas inversas

Al aprender la técnica de la sustitución, vimos la integral ∫sinxcosxdx en el ejemplo 5.5.4. La integración no era difícil, y se podía evaluar fácilmente la integral indefinida dejando que u=sinx o dejando que u=cosx. Esta integral es fácil ya que la potencia del seno y del coseno es 1.

Generalizamos esto y consideramos integrales de la forma ∫sinmxcosnxdx, donde m,n son enteros no negativos. Nuestra estrategia para evaluar estas integrales es utilizar la identidad cos2x+sin2x=1 para convertir las potencias altas de una función trigonométrica en la otra, dejando un único término seno o coseno en el integrando. Resumimos la técnica general en la siguiente idea clave.

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El trabajo que hacemos aquí puede ser un poco tedioso, pero las habilidades desarrolladas (resolución de problemas, manipulación algebraica, etc.) son importantes. Hoy en día, los problemas de este tipo suelen resolverse utilizando un sistema de álgebra computacional. El potente programa Mathematica® integra ∫sin5xcos9xdx como

La figura 8.2.1 muestra una gráfica de f y g; claramente no son iguales, pero sólo difieren en una constante: g(x)=f(x)+C para alguna constante C. Así que tenemos dos antiderivadas diferentes de la misma función, lo que significa que ambas respuestas son correctas.

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