Clases de equivalencia matematicas discretas

Clases de equivalencia matematicas discretas

Ejemplos de clases de equivalencia

La congruencia es un ejemplo de relación de equivalencia. Los dos triángulos de la izquierda son congruentes, mientras que el tercer y el cuarto triángulo no son congruentes con ningún otro triángulo mostrado aquí. Así, los dos primeros triángulos están en la misma clase de equivalencia, mientras que el tercero y el cuarto están cada uno en su propia clase de equivalencia.

Si el conjunto cociente es compatible con esta estructura, el conjunto cociente suele heredar una estructura similar de su conjunto padre. Algunos ejemplos son los espacios cotizados en álgebra lineal, los espacios cotizados en topología, los grupos cotizados, los espacios homogéneos, los anillos cotizados, los monoides cotizados y las categorías cotizadas.

[2] La palabra «clase» en el término «clase de equivalencia» puede considerarse generalmente como un sinónimo de «conjunto», aunque algunas clases de equivalencia no son conjuntos sino clases propias. Por ejemplo, «ser isomorfo» es una relación de equivalencia en grupos, y las clases de equivalencia, llamadas clases de isomorfismo, no son conjuntos.

Cada elemento de una clase de equivalencia caracteriza la clase y puede utilizarse para representarla. Cuando se elige un elemento de este tipo, se le llama representante de la clase. La elección de un representante en cada clase define una inyección de

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Clase de equivalencia de 3

Como se indicó en el apartado 7.2, una relación de equivalencia sobre un conjunto \(A\) es una relación con una determinada combinación de propiedades (reflexiva, simétrica y transitiva) que nos permite ordenar los elementos del conjunto en determinadas clases. Esto se hace por medio de ciertos subconjuntos de \(A\) que se asocian a los elementos del conjunto \(A\). Esto se ilustrará con el siguiente ejemplo. Sea \(A = \{a, b, c, d, e\}}, y sea \(R\) la relación sobre el conjunto \(A\) definida como sigue:

Como veremos en esta sección, las relaciones entre estos conjuntos son las típicas de una relación de equivalencia. El siguiente ejemplo mostrará lo diferente que puede ser para una relación que no es de equivalencia.

Una relación de equivalencia importante que hemos estudiado es la congruencia módulo \(n\) en los enteros. También podemos definir subconjuntos de los enteros basándonos en la congruencia módulo \(n\). Lo ilustraremos con la congruencia módulo 3. Por ejemplo, podemos definir \ (C[0]\) como el conjunto de todos los enteros a que son congruentes con 0 módulo 3. Es decir,

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Clases de equivalencia y particiones

En el extremo, podemos tener una relación en la que todo es equivalente (por lo que sólo hay una clase de equivalencia), o podríamos utilizar la relación de identidad (en cuyo caso hay una clase de equivalencia para cada elemento de $S$). Pero normalmente nos interesan las relaciones de equivalencia no triviales, así que tenemos múltiples clases, algunas de las cuales tienen múltiples miembros.

La forma en que pienso en las clases de equivalencia dado un conjunto de pares ordenados, así como dado un conjunto A, es qué está relacionado con qué. Primero, empiezo con 0, y me pregunto, ¿qué pares ordenados en el conjunto R están relacionados con 0?

Cómo encontrar la clase de equivalencia

Para una relación de equivalencia, debido a la transitividad y la simetría, todos los elementos relacionados con un elemento fijo deben estar relacionados entre sí. Así, si conocemos un elemento del grupo, conocemos esencialmente todos sus «parientes».

El elemento entre paréntesis, [ ], se llama representante de la clase de equivalencia.    Una clase de equivalencia puede ser representada por cualquier elemento de esa clase de equivalencia. Así, en el ejemplo 6.3.2, \([S_2] =[S_3]=[S_1] ={S_1,S_2,S_3}.\) Esta igualdad de clases de equivalencia se formalizará en el lema 6.3.1.

Veamos con más detalle el ejemplo 6.3.1.    Todos los enteros que tienen el mismo resto cuando se dividen por 4 están relacionados entre sí. Las clases de equivalencia son los conjuntos \N[\Nbegin{array}{lclcr} {[0]} &=& {n\in\mathbb{Z} \mid n\bmod 4 = 0 \} &=& 4\mathbb{Z}, \\ {[1]} &=& \{n\in\mathbb{Z} \n\bmod 4 = 1 \} &=& 1+4\mathbb{Z}, \\ {[2]} &=& \n\in\mathbb{Z} \n\bmod 4 = 2 \} &=& 2+4\mathbb{Z}, \\ {[3]} &=& \n\in\mathbb{Z} \mid n\bmod 4 = 3 \} &=& 3+4\mathbb{Z}. \nd{array}] Está claro que cada número entero pertenece exactamente a uno de estos cuatro conjuntos. Por lo tanto, [\mathbb{Z} = [0] \cup [1] \cup [2] \cup [3].\N-] Estos cuatro conjuntos son disjuntos por pares.  De esto se deduce que \(\ {[0], [1], [2], [3]\}) es una partición de \(\mathbb{Z}\).

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